Question

13．已知x=1是f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+lnx的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-$\frac{3+a}{x}$，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出g（x）的导数，问题转化为a≥-2x²-x在[1，2]恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2-$\frac{b}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
x=1是f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+lnx的一个极值点，
故f′（1）=2-b+1=0，解得：b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=2x+$\frac{3}{x}$+lnx-$\frac{3}{x}$-$\frac{a}{x}$=2x+lnx-$\frac{a}{x}$，
若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，
则g′（x）=2+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$，
则2x²+x+a≥0在[1，2]恒成立，
即a≥-2x²-x在[1，2]恒成立，
令h（x）=-2x²-x=-2${（x+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，x∈[1，2]，
h（x）在[1，2]递减，h（x）_max=h（1）=-3，
故a≥-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值问题，是一道中档题．