题目内容
【题目】已知函数
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）当
时，
的图象恒在
的图象上方，求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】
（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想 y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围.
（1）f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a）
当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜a≤1时，令f'（x）＝0得x＝0或x＝lna．
（i） 当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
（ii） 当a＝1时，lna＝0，f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；
当a＝1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．
（2）由（I）知f'（x）＝xex﹣ax
当x∈（0，+∞）时，y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；
即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；
即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
记 g（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），
∴g'（x）＝ex﹣2ax﹣1＝h（x）；∴h'（x）＝ex﹣2a；
（i） 当
时，h'（x）＝ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g'（x）＞g'（0）＝0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（0）＝0，符合题意；
（ii）当
时，令h'（x）＝0得x＝ln（2a）；
∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；
∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）＝0；
∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，
∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意；
综上可得a的取值范围是
．
