题目内容
【题目】对于元集合
,若
元集合
满足
,且
.则称
是集合
的一种“等和划分”(
与
算是同一种划分).试确定集合
共有多少种等和划分?
【答案】29
【解析】
解法1:不妨设.由于当集合
确定后,集合
便唯一确定,故只须考虑集合
的个数.
设为最大数.由
,知
.于是,
.故
中有奇数个奇数.
(1)若中有五个奇数,因
中的六个奇数之和为36,而
,所以,
.此时,得到唯一的
.
(2)若中有三个奇数、两个偶数,用
表示
中这两个偶数
之和,
表示
中这三个奇数
之和,则
.于是,
.共得
的24种情形.
①当时,
,可搭配成
的3种情形;
②当时,
,可搭配成
的3种情形;
③当时,
,可搭配成
的6种情形;
④当时,
,可搭配成
的6种情形;
⑤当时,
,可搭配成
的4种情形;
⑥当时,
,可搭配成
的1种情形;
⑦当时,
,可搭配成
的1种情形;
(3)若中有一个奇数、四个偶数,由于
中除12外,其余的五个偶数和为
,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使
中五数之和为27,分别得到
的4种情形
.综上,集合
有
种情形.即
有29种等和划分.
解法2:元素交换法.
显然,,恒设
.
(1)首先注意极端情况的一种分划:
.
显然,数组与
中,若有一组数全在
中,则另一组数必全在
中.
以下考虑10、11两个数至少一个不在中的情况.
为此,考虑中个数相同且和数相等的元素交换.
(2);
;
;
.
共得到8种对换.
(3);
;
;
;
.
共得到9种对换.
(4);
;
;
;
.
共得到11种对换.
每种对换都得到一种新的划分.因此,总共得种等和划分.
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