题目内容
【题目】对于
元集合
，若
元集合
满足
，且
．则称
是集合
的一种“等和划分”（与
算是同一种划分）．试确定集合
共有多少种等和划分?
【答案】29
【解析】
解法1：不妨设
．由于当集合
确定后，集合
便唯一确定，故只须考虑集合的个数．
设
为最大数．由
，知
．于是，
．故
中有奇数个奇数．
（1）若
中有五个奇数，因
中的六个奇数之和为36，而
，所以，
．此时，得到唯一的
．
（2）若中有三个奇数、两个偶数，用
表示中这两个偶数
之和，
表示中这三个奇数
之和，则
．于是，
．共得的24种情形．
①当
时，
，可搭配成的3种情形；
②当
时，
，可搭配成的3种情形；
③当
时，
，可搭配成的6种情形；
④当
时，
，可搭配成的6种情形；
⑤当
时，
，可搭配成的4种情形；
⑥当
时，
，可搭配成的1种情形；
⑦当
时，
，可搭配成的1种情形；
（3）若中有一个奇数、四个偶数，由于中除12外，其余的五个偶数和为
，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使中五数之和为27，分别得到的4种情形
．综上，集合有
种情形．即有29种等和划分．
解法2：元素交换法．
显然，
，恒设．
（1）首先注意极端情况的一种分划：
．
显然，数组
与
中，若有一组数全在中，则另一组数必全在中．
以下考虑10、11两个数至少一个不在中的情况．
为此，考虑
中个数相同且和数相等的元素交换．
（2）
；
；
；
．
共得到8种对换．
（3）
；
；
；
；
．
共得到9种对换．
（4）
；
；
；
；
．
共得到11种对换．
每种对换都得到一种新的划分．因此，总共得
种等和划分．
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