题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点是
，左右顶点是
，离心率是
，过
的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且
的周长是
，
直线
与
交于点M.
(1)求椭圆的方程；
(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；
(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：
是定值．
【答案】(1)
(2) (ⅰ)见证明；(ⅱ)见证明
【解析】
(1)由题意可得
，可以求出
，
，从而求出椭圆的方程；(2)(ⅰ)由点斜式分别写出
与
的方程，两式子消去
，根据韦达定理可得
，
的坐标关系，进而可以得到点M在一条定直线x＝2上；(ⅱ)由于
，结合点P在椭圆上，可以求出
为定值。
(1)设椭圆的焦距是2c，
据题意有：，，，则
，
所以椭圆的方程是.
(2) (ⅰ)由(1)知
，
，
，
设直线PQ的方程是
，
代入椭圆方程得：
，
易知
，
设，，
，
则
，
直线的方程是：
①，
直线
的方程是：
②，
设
，既满足①也满足②，
则
，
故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上.
(ⅱ)设
，
，
，则
，
∴
.
【题目】随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2018年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促销费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型
与
的关系，请用相关系数
加以说明（系数精确到0.001）；
（2）建立关于的线性回归方程
（系数精确到0.001）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入费用多少万元（结果精确到0.01）．
参考数据：
，
，
，
，
，其中
，
分别为第
个月的促销费用和产品销量，
．
参考公式：（1）样本
相关系数
；
（2）对于一组数据
，
，…，
，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
