Question

下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（　　）

• A、y=sin（x+

  π

  4

  ）cos（x+

  π

  4

  ）
• B、y=

  1+cos2x

  sin2x

• C、y=2tan2x
• D、y=sinxcosx

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：A：y=

1

2

sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x，可求得其最小正周期并能判断其奇偶性；
B：y=

1+cos2x

sin2x

=cotx，可判断其正误；
C：易求y=tan2x的最小正周期为

π

2

，可排除C；
D：y=

1

2

sin2x为奇函数，从而可排除D．

解答： 解：A：∵y=f（x）=

1

2

sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x，∴其最小正周期T=π，
又f（-x）=

1

2

cos（-2x）=

1

2

cos2x=f（x），
∴y=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）为偶函数，故A正确；
B：∵y=

1+cos2x

sin2x

=cotx为奇函数，故可排除B；
C：∵y=tan2x的最小正周期为T=

π

2

，故可排除C；
D：∵y=

1

2

sin2x为奇函数，故可排除D．
故选：A．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查三角函数的周期性与奇偶性，属于中档题．