Question

已知抛物线y²=4x，焦点为F，点A（-3，0）．
（1）过点A的直线与抛物线只有一个交点的直线有几条，并写出直线方程；
（2）过焦点的直线l与抛物线相交于B、C两点，且

BF

=2

FC

，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）当过点A的直线经过F，则与抛物线只有一个交点；当过点A的直线与抛物线相切，则与抛物线只有一个交点，设方程为：y=k（x+3），联立抛物线方程，消去y，由判别式为0，解出k即可得到直线方程；
（2）设过焦点的直线l：y=k（x-1），联立抛物线方程，消去y，运用韦达定理，判别式大于0，再由向量的坐标运算，得到方程，消去x₁，x₂得到k的方程，解出k，检验即可得到直线方程．

解答： 解：（1）当过点A的直线经过F，则与抛物线只有一个交点，方程为y=0．
当过点A的直线与抛物线相切，则与抛物线只有一个交点，
设方程为：y=k（x+3），联立抛物线方程，消去y，
得到：k²x²+（6k²-4）x+9k²=0，
由△=0，即（6k²-4）²-36k⁴=0，解得，k=±

3

3

．
故所求直线有3条，方程为：x=0，或y=±

3

3

（x+3）；
（2）设过焦点的直线l：y=k（x-1），
联立抛物线方程，消去y，得到k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
则△=（2k²+4）²-4k⁴＞0①
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
又

BF

=2

FC

，则1-x₁=2（x₂-1），
则消去x₁，x₂得到k的方程：（k²-4）（k²+8）=k⁴，
解得，k²=8，即有k=±2

2

．
代入①检验成立，
则直线l的方程为：y=±2

2

（x-1）．

点评：本题考查抛物线方程及运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，以及向量的运算，考查运算能力，属于中档题．