Question

2．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}$（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ-sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠$\frac{π}{2}$），点A，B（A在x轴下方）是曲线C₁与C₂的两个不同的交点．
（1）求曲线C₁的普通方程与C₂的直角坐标方程；
（2）求|AB|的最大值及此时点B的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程消去参数，能求出曲线C₁的普通方程．由曲线C₂的极坐标方程能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$，（t是参数），设A（t₁cosα，-1+t₁sinα），B（t₂cosα，-1+t₂sinα），把曲线C₂的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得：t²（1+3sin²α）-8tsinα=0，由此利用韦达定理，结合均值不等式，能求出|AB|的最大值及此时B点坐标．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}$（ϕ为参数），
∴曲线C₁消去参数，得到曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∵曲线C₂的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ-sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠$\frac{π}{2}$），
∴曲线C₂的直角坐标方程为：tanα•x-y=1．
（2）由（1）得曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$，（t是参数），
设A（t₁cosα，-1+t₁sinα），B（t₂cosα，-1+t₂sinα），
把曲线C₂的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
整理，得：t²（1+3sin²α）-8tsinα=0，
∴${t}_{1}=0，{t}_{2}=\frac{8sinα}{1+3si{n}^{2}α}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{8|sinα|}{1+3si{n}^{2}α}$=$\frac{8}{3|sinα|+\frac{1}{|sinα|}}$≤$\frac{8}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
当且仅当sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$取等号，
当sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，∵0＜α＜π，且$α≠\frac{π}{2}$，∴cos$α=±\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴B（$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴|AB|的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此时B点坐标为（$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查参数方程化为普通方程的求法，考查弦长的最大值及对应的点坐标的求法，考查韦达定理、均值不等式、直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．