Question

19．函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，若实数m满足f（m²）+f（3m-4）＜0，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（4，+∞）
• B． （-1，4）
• C． （-∞，-4）∪（1，+∞）
• D． （-4，1）

Answer 1

分析 根据解析式求出f（x）的定义域和f（-x），由函数奇偶性的定义判断出f（x）是奇函数，由为y=e^x在R上是增函数判断出f（x）的单调性，利用奇偶性和单调性转化不等式，求出m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$的定义域是R，
因为f（-x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-e^x=-f（x），所以函数f（x）是奇函数，
因为y=e^x在R上是增函数，所以f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$在R上是增函数，
则f（m²）+f（3m-4）＜0为：f（m²）＜-f（3m-4）=f（-3m+4），
即m²＜-3m+4，则m²+3m-4＜0，解得-4＜m＜1，
所以m的取值范围是（-4，1），
故选D．

点评 本题考查了函数奇偶性和单调性的判断和应用，考查转化思想，属于中档题．