Question

4．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足：$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=4$，且$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow b=-20$．
（1）求证：$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$；
（2）求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （1）先计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再计算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=0即可得出结论；
（2）代入夹角公式计算即可．

解答 证明：（1）∵$|{\overrightarrow b}|=4，（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•\overrightarrow b=-20$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=\overrightarrow a•\overrightarrow b-16=-20$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-4$，
∵$|{\overrightarrow a}|=2$，
∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow a={\overrightarrow a^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$．
（2）设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，则$cosθ=\frac{\overrightarrow a，\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=-\frac{1}{2}$，
θ=120⁰．即向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．