Question

如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD中点．现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）若点F为BC中点，证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥CD，由此能证明EF∥平面PCD．
（Ⅱ） 由已知条件推导出平面PBD⊥平面BCD，由此得到CD⊥PB，从而推导出PB⊥平面PCD，由此能证明平面PBC⊥平面PCD．

解答： 解：（Ⅰ）在△BCD中，点E、F分别为BD、BC的中点，
∴EF∥CD…（2分）
又EF?平面PCDCD?平面PCD
∴EF∥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ） 在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴CD⊥BD，…（6分）
∵平面PBD⊥平面BCD，
且平面PBD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面PBD…（7分）
∴CD⊥PB…（9分）
∵PB⊥PD  PD∩CD=D
∴PB⊥平面PCD…（10分）
又PB?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．