Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=2$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和正余弦定理及和差角的三角函数公式，易得cosC，由三角形内角的范围可得．
（Ⅱ）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中acosB+bcosA=2ccosC，
∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴sinC=2sinCcosC，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∴由三角形内角的范围可得角C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理可得：12=c²=a²+b²-2abcosC≥2ab-ab=ab，
可得ab≤12，当且仅当a=2$\sqrt{3}$时取等号．
∴△ABC面积的最大值=$\frac{1}{2}×12×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．