Question

6．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD=150°，点E，F分别在边BC，CD上，2CE=3EB，DC=λDF（λ∈R，λ≠0），若$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=\frac{42}{5}（{1-\sqrt{3}}）$，则λ的值为8．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，根据数量积列方程解出λ．

解答 解：∵2CE=3EB，∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}+$$\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$，
∵DC=λDF，∴$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+$$\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{λ}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（1+$\frac{2}{5λ}$）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AD}$²，
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD=150°，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=${\overrightarrow{AD}}^{2}$=16，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=4×4×cos150°=-8$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$\frac{16}{λ}$+（1+$\frac{2}{5λ}$）•（-8$\sqrt{3}$）+$\frac{32}{5}$=$\frac{42}{5}$（1-$\sqrt{3}$），
解得λ=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，平面向量的数量积运算，属于中档题．