Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，其左准线为l₀：x=-4，左顶点A，上顶点为B，且△BF₁F₂是等边三角形
（1）求椭圆C的方程
（2）过F₁任意作一条直线l交椭圆C与M、N（均不是椭圆的顶点），设直线AM交l₀于P，直线AN交l₀于Q，试问判断$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$是否为定值，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的准线方程x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，及a=2c，求得a和c，由b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，P（-4，x_P），Q（-4，x_Q），由（-2，0），（x₁，y₁），P共线，解得：x_P=$\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理可得：x_Q=$\frac{-2{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，代入即可求得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0．

解答 解：（1）由题意可知：左准线x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，
由△BF₁F₂是等边三角形，
∴a=2c，
解得：a=2，c=1，
由b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$是否为定值；
证明：由题意设直线l：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x-12=0，
则x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
设P（-4，x_P），Q（-4，x_Q），
（-2，0），（x₁，y₁），P共线，解得：x_P=$\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，同理可得：x_Q=$\frac{-2{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（-3，$\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（-3，$\frac{-2{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=9+$\frac{4{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=9+4k²×$\frac{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+1-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+4-\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=9+4k²×$\frac{-9}{4{k}^{2}}$=0，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．