Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+m}{{2}^{x}-1}$为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；
（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出m的值即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）问题转化为a＜-f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 （1）解：∵f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{2}^{-x}+m}{{2}^{-x}-1}$=-$\frac{{2}^{x}+m}{{2}^{x}-1}$，
解得：m=1；
（2）证明：f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
设0＜x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{2x}_{2}-1}$=$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{（{2x}_{1}-1）（{2x}_{2}-1）}$，
又1＜2x₁＜2x₂，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{（{2x}_{1}-1）（{2x}_{2}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）递减；
（3）解：∵f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，
∴a＜-f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，
∵f（x）在（0，+∞）递减，
∴f（x）在[1，3]递减，
∴f（x）的最大值是f（1）=3，
∴-f（x）的最小值是-3，
∴a＜-3．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数恒成立问题以及转化思想，是一道中档题．