Question

11．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M、N分别为棱AD、BB₁的中点．
（1）求证：直线MN∥平面AB₁D₁；
（2）若正方体的棱长a=2，求点A₁到面AB₁D₁的距离．

Answer 1

分析 （1）取DD₁ 中点G，连接MG、NG，由线面平行的判定定理证明MG∥平面AB₁D₁，NG∥平面AB₁D₁，再由面面平行的判断得平面MNG∥平面AB₁D₁，从而可得直线MN∥平面AB₁D₁；
（2）直接利用等积法求得点A₁到面AB₁D₁的距离．

解答 （1）证明：取DD₁ 中点G，连接MG、NG，
则MG∥AD₁，
∵MG?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，
∴MG∥平面AB₁D₁，
NG∥B₁D₁，NG?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴NG∥平面AB₁D₁，
又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面AB₁D₁，
∴直线MN∥平面AB₁D₁；
（2）解：设点A₁到面AB₁D₁的距离为d，
∵正方体的棱长a=2，∴△AB₁D₁的边长为2$\sqrt{2}$，则${S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}=2\sqrt{3}$，
则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}d$，即d=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求多面体的体积，是中档题．