Question

【题目】已知椭圆：，其焦距为，若，则称椭圆为“黄金椭圆”.黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是，，以,，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，.

（1）类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；

（2）类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】分析：（1）“黄金双曲线“的离心率为的倒数）．

（2）把椭圆结论中点与交换位置得双曲线的性质．

详解：（1）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”.

（2）在黄金双曲线的性质：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，

以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、.

证明：直线的方程为，原点到该直线的距离，

由及，得 ，

将代入，得，又将代入，化简得，

故直线与圆相切，同理可证直线、均与圆相切，即以、的直径的圆为菱形的内切圆，命题得证.