题目内容
【题目】已知a为正实数，n为自然数，抛物线 
与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求对所有n都有 
成立的a的最小值；
（3）当0＜a＜1时，比较 
与 
的大小，并说明理由．
【答案】
（1）解：∵抛物线 
与x轴正半轴相交于点A，∴A（ 
）
对 求导得y′=﹣2x
∴抛物线在点A处的切线方程为 
，∴ 
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=an；
（2）解：由（1）知f（n）=an，则 
成立的充要条件是an≥2n3+1
即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥ 
当a= ，n≥3时，an＞4n=（1+3）n≥1+ 
=1+2n3+ 
＞2n3+1
当n=0，1，2时， 
∴a= 时，对所有n都有 成立
∴a的最小值为 ；
（3）解：由（1）知f（k）=ak，下面证明： 
首先证明：当0＜x＜1时， 
设函数g（x）= 
x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）= 
x（x﹣ 
）
当0＜x＜ 时，g′（x）＜0；当 
时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（ ）=0
∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴
由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此 
，
从而 
= 
≥ 
= 
＞ 
= 
【解析】（1）根据抛物线 与x轴正半轴相交于点A，可得A（ ），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；（2）由（1）知f（n）=an ， 则 成立的充要条件是an≥2n3+1，即知，an≥2n3+1对所有n成立，当a= ，n≥3时，an＞4n=（1+3）n＞2n3+1，当n=0，1，2时， ，由此可得a的最小值；（3）由（1）知f（k）=ak ， 证明当0＜x＜1时， ，即可证明： 
