Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；
（3）证明： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得

令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a

令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a

∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值

∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，

∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1

（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意

当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，

求导函数可得g′（x）=

g′（x）=0，可得x1=0，

①当k≥ 时， ，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；

②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上单调递增，

因此取 时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；

综上知，k≥ 时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为

（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立

当n≥2时，

在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，∴ （i≥2，i∈N*）．

∴ =f（2）+ ＜2﹣ln3+ =2﹣ln3+1﹣ ＜2

综上， （n∈N*）

【解析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2 ， 即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2 ， 求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0， ，分类讨论：①当k≥ 时， ，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜ 时， ，对于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时， ，在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2 ， 从而可得 ，由此可证结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．