Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x₀，y₀），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x₀）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则可求得：f（

1

4

）+f（

2

4

）+f（

3

4

）+f（

4

4

）+f（

5

4

）+f（

6

4

）+f（

7

4

）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011对-4和一个f（1）=-2，可得答案．

解答： 解：由题意f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，
故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，
即f（x）+f（2-x）=-4．
所以f（

1

4

）+f（

2

4

）+f（

3

4

）+f（

4

4

）+f（

5

4

）+f（

6

4

）+f（

7

4

）=3[f（

1

4

）+f（

7

4

）]+f（

4

4

）=3×（-4）-2=-14，
故答案为：-14

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．