题目内容

已知点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为m（m≤-1），记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并判断曲线C为何种曲线；
（2）若曲线C经过点（
2
2
，1）．
①当点M在曲线C上运动时，求
MA
•
MB
+
MA
2的取值范围；
②过点D（2，0）的直线L与曲线C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），求△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设M（x，y）；则kAM=
y-0
x+1
，kMB=
y-0
x-1
；则有
y-0
x+1
•
y-0
x-1
=m；讨论m确定曲线的形状及方程；
（2）代入求得曲线方程为
y2
2
+x2=1，
①从而设设M（cosa，
2
sina）；表示出向量
MA
=（cosa+1，
2
sina），
MB
=（cosa-1，
2
sina）；从而求其取值范围；
②设直线L的方程为x=my+2；与椭圆
y2
2
+x2=1联立消x得，（2m2+1）y2+8my+6=0；从而求出m2＞
3
2
；再由图象可知，△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比为E，F两个的纵坐标的绝对值之比，故求解方程（2m2+1）y2+8my+6=0；从而得到比值
-8m-
16m2-24
-8m+
16m2-24
，分离常数法求其取值范围即可．
解答： 解：（1）设M（x，y）；则
kAM=
y-0
x+1
，kMB=
y-0
x-1
；
则由题意可得，
y-0
x+1
•
y-0
x-1
=m；
故y2=m（x2-1）；
若m=-1，则可化为y2+x2=1；
表示了以原点为圆心，1为半径的圆（除A，B点）；
若m＜-1；则
y2
-m
+x2=1；
表示了焦点在y轴，以A、B为短轴端点的椭圆（除A，B点）；
（2）由题意，
1
-m
+
1
2
=1；
故m=-2；
故C：
y2
2
+x2=1；
①设M（cosa，
2
sina）；
则
MA
=（cosa+1，
2
sina），
MB
=（cosa-1，
2
sina）；
MA
•
MB
+
MA
2=（cosa+1，
2
sina）•（2cosa，2
2
sina）
=2cos2a+2cosa+4sin2a
=-2cos2a+2cosa+4；
故-2-2+4≤
MA
•
MB
+
MA
2≤
9
2
；
即0≤
MA
•
MB
+
MA
2≤
9
2
；
②设直线L的方程为x=my+2；
与椭圆
y2
2
+x2=1联立消x得，
（2m2+1）y2+8my+6=0；
故△=64m2-4×6×（2m2+1）＞0，
解得，m2＞
3
2
；
y=
-8m±
16m2-24
2m2+1
；不妨设m＜0；
故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比为
-8m-
16m2-24
2m2+1
-8m+
16m2-24
2m2+1
=
-8m-
16m2-24
-8m+
16m2-24

=-1+
-16m
-8m+
16m2-24

=-1+
16
8+
16-
24
m2
；
∵m2＞
3
2
，
∴0＜
16-
24
m2
＜4；
故8＜8+
16-
24
m2
＜12；
故
4
3
＜
16
8+
16-
24
m2
＜2；
故
1
3
＜-1+
16
8+
16-
24
m2
＜1；
故△ODE与△ODF（其中O是直角坐标系的坐标原点）面积之比的取值范围为（
1
3
，1）．
点评：本题考查了圆锥曲线中的最值问题及取值范围问题，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
设向量
a
，
b
满足|
a
|=1，|
b
|=1，且
a
与
b
具有关系|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|（k＞0）．
（1）
a
与
b
能垂直吗？
（2）若
a
与
b
夹角为60°，求k的值．
已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则
2Sn+16
an+3
的最小值为
 
．
已知集合A={x|-1≤x≤3，x∈R}，B={x|m-2≤x≤m+2，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
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（1）MN的中点在直线x=3上，求k的值；
（2）折
AM
=λ
AN
，k∈[
2
2
，
6
3
]，求λ的取值范围．
若（x3-
1
x
）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中x3的系数为
 
．
对于任意实数x1，x2，max{x1，x2}表示x1，x2中较大的那个数，则当x∈R时，函数f（x）=max{2-x2，x}，x∈[-3，
1
2
]的最大值与最小值的差是
 
．
如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在空白区域的概率为（　　）
A、
4-π
2
B、
π-2
2
C、
4-π
4
D、
π-2
4
已知等比数列{an}中，am•am+10=a，am+50•am+60=b，m∈N*，则am+125•am+135=
 
．

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