Question

10．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w=kx²，其中k为比例系数）；当航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

Answer 1

分析 （1）由题意，每小时的燃料费用为w=kx²，当x=30时，900k=450，解得k．从甲地到乙地所用的时间为$\frac{300}{x}$小时，可得从甲地到乙地的运输成本：y=0.5x²$•\frac{300}{x}$+800$•\frac{300}{x}$（0＜x≤50）．
（2）法一：f′（x）=150$（1-\frac{1600}{{x}^{2}}）$，利用导数研究函数的单调性极值与最值；
法二：由（1）得：y=150$（x+\frac{1600}{x}）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意，每小时的燃料费用为w=kx²，当x=30时，900k=450，解得k=0.5…（2分）
从甲地到乙地所用的时间为$\frac{300}{x}$小时，则从甲地到乙地的运输成本：
y=0.5x²$•\frac{300}{x}$+800$•\frac{300}{x}$（0＜x≤50），…（5分）
=150$（x+\frac{1600}{x}）$．
故所求的函数为y=f（x）=150$（x+\frac{1600}{x}）$．…（6分）
（2）法一：f′（x）=150$（1-\frac{1600}{{x}^{2}}）$，…（8分）
令f′（x）=0，解得x=40，
0＜x＜40时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；40＜x≤50时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此当x=40时，y取得极小值，也是最小值．…（11分）
故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．…（12分）
法二：由（1）得：y=150$（x+\frac{1600}{x}）$≥150×2$\sqrt{x•\frac{1600}{x}}$=12000，…（9分）
当且仅当x=$\frac{1600}{x}$，即x=40时取等号．…（11分）
故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．…（12分）

点评 本题考查了函数的应用、利用导数研究函数的单调性极值与最值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．