Question

2．已知抛物线y²=4x的焦点F与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为P，且PF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由抛物线的方程求出抛物线的焦点F为（1，0），由PF⊥x轴，设P（1，y₀），代入抛物线方程求出点P坐标为（1，2），得到椭圆的半焦距c=1且点P在椭圆上，由此建立关于a、b的方程组，解出a的值，由椭圆的离心率计算可得答案．

解答 解：∵抛物线的方程为y²=4x，∴抛物线的焦点F为（1，0），
又∵抛物线与椭圆在第一象限内的交点为P，且PF⊥x轴，
∴设P（1，y₀），代入抛物线方程得y₀²=4×1=4，得y₀=2（舍负）．
因此点P（1，2）在椭圆上，椭圆的半焦距c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得a²=3+2$\sqrt{2}$，b²=2+2$\sqrt{2}$，
由此可得a=$\sqrt{2}$+1，椭圆的离心率e=$\sqrt{2}$-1．
故选：B．

点评 本题给出抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，它们在第一象限的交点在x轴上的射影恰好为点F，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．