Question

20．在棱长为2正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CC₁、A₁D₁中点，M、N分别为线段CD、AD上的动点，若EN⊥FM，则线段MN长度的最小值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段MN长度的最小值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，2，1），F（1，0，2），
设M（0，y，0），N（x，0，0），x∈[0，2），y∈[0，2]，
则$\overrightarrow{EN}$=（x，-2，-1），$\overrightarrow{FM}$=（-1，y，-2），
$\overrightarrow{MN}$=（x，-y，0），
∵EN⊥FM，∴$\overrightarrow{EN}•\overrightarrow{FM}$=-x-2y+2=0，∴x=2-2y，
∴|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{（2-2y）^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}$
=$\sqrt{5（y-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{4}{5}}$，
∴当y=$\frac{4}{5}$∈[0，2]时，
线段MN长度取最小值$\sqrt{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．