Question

已知函数f（x）=

x+b

ax2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

3

）=

3

10

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）解不等式：f（2t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质以及条件即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）因为函数f(x)=

x+b

ax2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，
所以f（0）=0，即b=0，
又f(

1

3

)=

3

10

，所以a=1，所以f(x)=

x

x2+1

；
（2）证明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＞x₂，
则f(x1)-f(x2)=

(x1x2-1)(x2-x1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
因为x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＞x₂，所以x₁x₂-1＜0，x₂-x₁＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）因为f（2t-1）+f（t）＜0，所以f（2t-1）＜f（-t），
所以

2t-1＜-t -1＜2t-1＜1 -1＜t＜1

，解得0＜t＜

1

3

，
所以不等式解集为{t|0＜t＜

1

3

}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，综合考查函数性质的综合应用．