Question

设a＞0,b＞0,a+b=1.
（1）证明：ab+≥4;
(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：
a²b²+≥（   ）；a³b³+≥（   ）；
（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.

Answer 1

证明见解析(2) 16与64

（1）证明 方法一 ab+≥44a²b²-17ab+4≥0
?(4ab-1)(ab-4)≥0.
∵ab=()²≤=,
∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,
因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.
方法二 ab+=ab++，
∵ab≤=，∴≥4，∴≥.
当且仅当a=b=时取等号.
又ab+≥2=，
当且仅当ab=，即=4,a=b=时取等号.
故ab+≥+=4
（当且仅当a=b=时，等号成立）.
（2）解 猜想：当a=b=时，
不等式a²b²+≥(   )与a³b³+≥(  )取等号，故在括号内分别填16与64.
（3）解 由此得到更一般性的结论：
aⁿbⁿ+≥4ⁿ+.
证明如下：
∵ab≤=,∴≥4.
∴aⁿbⁿ+=aⁿbⁿ++
≥2+×4ⁿ
=+=4ⁿ+，
当且仅当ab=,即a=b=时取等号.