Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时有f（x）=

4x

x+4

．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0成立的实数m的取值范围．
（2）若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，△ABC面积S_△ABC=

3

2

，c=f（4），A=60°，求a、b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：解三角形

分析：（1）首先根据函数的单调性判断函数的单调性，然后列出不等式即可求出m的取值范围；
（2）根据三角形的面积求出b的值，再由余弦定理求出a的值．

解答： 解：（1）∵当x≥0时，f（x）时有f（x）=

4x

x+4

=4-

16

x+4

∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）是增函数，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0
∴2m+1＞-（m²-2m-4）
∴m＜-

3

或m＞

3

（2）c=f（4）=2，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA

3

2

，∴

1

2

b•2sin60°=

3

2

，得b=1．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1²+2²-2×1×2•cos60°=3，所以a=

3

．

点评：本题考查余弦定理、三角形的面积公式以及函数的单调性、奇偶性的综合应用，是一道中档题．