题目内容
已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z-4为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
考点：复数代数形式的乘除运算,复数的代数表示法及其几何意义
专题：
分析：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．利用复数的运算法则、复数为实数、纯虚数的条件即可得出；
（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出．
（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出．
解答：
解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．
由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=-2．
由z-4=（x-4）+yi为纯虚数，得x=4．
∴z=4-2i．
（2）∵（z+mi）2=（-m2+4m+12）+8（m-2）i，
根据条件，可知
解得-2＜m＜2，
∴实数m的取值范围是（-2，2）．
由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=-2．
由z-4=（x-4）+yi为纯虚数，得x=4．
∴z=4-2i．
（2）∵（z+mi）2=（-m2+4m+12）+8（m-2）i，
根据条件，可知
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解得-2＜m＜2，
∴实数m的取值范围是（-2，2）．
点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．
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