Question

甲乙两人进行乒乓球比赛，各局相互独立，约定每局胜者得1分，负者得0分，如果两人比赛五局，乙得1分与得2分的概率恰好相等．
（1）求乙在每局中获胜的概率为多少？
（2）假设比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，用ξ表示比赛停止时已打局数，求ξ的期望E_ξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设每次比赛乙获胜的概率为p，则比赛5次乙恰好有k次获胜的概率为

C

k 5

pk(1-p)5-k，（k=0，1，2，…，5），由题设

C

2 5

p2(1-p)3=

C

1 5

p(1-p)4，且0＜p＜1，由此能求出乙获胜的概率．
（2）甲获胜的概率为1-p=1-

1

3

=

2

3

，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．

解答： 解：（1）设每次比赛乙获胜的概率为p，
则比赛5次乙恰好有k次获胜的概率为：

C

k 5

pk(1-p)5-k，（k=0，1，2，…，5），…（2分）
由题设

C

2 5

p2(1-p)3=

C

1 5

p(1-p)4，且0＜p＜1，
解得p=

1

3

．…（4分）
所以，乙获胜的概率为

1

3

．…（5分）
（2）甲获胜的概率为1-p=1-

1

3

=

2

3

，…（6分）
依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．…（7分）
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为：
(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P（ξ=2）=

5

9

，
P（ξ=4）=

4

9

×

5

9

=

20

81

，
P（ξ=6）=(

4

9

)2=

16

81

．…（10分）
故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．