Question

1．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥\frac{1}{2}x\\ 2x+y≤10\end{array}\right.$，向量$\overrightarrow a=（y-2x，m），\overrightarrow b=（1，1）$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，则m的最大值为6．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用共线向量的坐标运算得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥\frac{1}{2}x\\ 2x+y≤10\end{array}\right.$作出可行域如图，
由$\overrightarrow a=（y-2x，m），\overrightarrow b=（1，1）$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，得
y-2x-m=0，即m=-2x+y，
化为y=2x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=10}\end{array}\right.$，解得A（1，8），
由图可知，当直线y=2x+m过A时，直线在y轴上的截距最大，m有最大值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了平面向量共线的坐标表示，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．