Question

已知a，b为正实数，且a+b=2，则

a2+2

a

+

b2

b+1

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件,基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由a，b为正实数，且a+b=2，变形可得

a2+2

a

+

b2

b+1

=

2

a

+a+b-1+

1

b+1

=

2

a

+

1

3-a

+1=f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵a，b为正实数，且a+b=2，
∴

a2+2

a

+

b2

b+1

=a+

2

a

+

b2-1+1

b+1

=

2

a

+a+b-1+

1

b+1

=

2

a

+

1

3-a

+1=f（a），0＜a＜2．
f′（a）=-

2

a2

+

1

(a-3)2

=

-(a-6-3 2 )(a-6+3 2 )

(a2-3a)2

，
令f′（a）＞0，解得6-3

2

＜a＜2，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得0＜a＜6-3

2

，此时函数f（a）单调递减．
∴当且仅当a=6-3

2

时函数f（a）取得极小值即最小值，
f(6-3

2

)=

6+2 2

3

．
故答案为：

6+2 2

3

．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．