Question

12．已知正项数列{a_n}中，a₂=6，且$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$，成等差数列，则a₁+3a₃的最小值6+8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$，成等差数列，可得：$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$=$\frac{2}{{a}_{2}+2}$=$\frac{1}{4}$，即4（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）=1，由数列{a_n}为正项数列，变形为a₁+3a₃=a₁+1+3（a₃+3）-10=4[a₁+1+3（a₃+3）]（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）-10=4$（4+\frac{3（{a}_{3}+3）}{{a}_{1}+1}+\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{3}+3}）$-10，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$，成等差数列，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$=$\frac{2}{{a}_{2}+2}$=$\frac{1}{4}$，即4（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）=1，
∵数列{a_n}为正项数列，
∴a₁+3a₃=a₁+1+3（a₃+3）-10=4[a₁+1+3（a₃+3）]（$\frac{1}{{{a_1}+1}}$+$\frac{1}{{{a_3}+3}}$）-10
=4$（4+\frac{3（{a}_{3}+3）}{{a}_{1}+1}+\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{3}+3}）$-10
≥$4（4+2\sqrt{\frac{3（{a}_{3}+3）}{{a}_{1}+1}•\frac{{a}_{1}+1}{{a}_{3}+3}}）$-10=6+8$\sqrt{3}$，当且仅当a₁+1=$\sqrt{3}$（a₃+3）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+4时取等号．
故答案为：6+8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．