Question

8．已知F₁，F₂是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，M（x₀，y₀）是双曲线C上的一点，若$\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$＜0，则y₀的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）$
• C． $（{-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）$
• D． $（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$

Answer 1

分析 先求出双曲线的方程，再结合M（x₀，y₀）是双曲线C上的一点，若•$\overrightarrow{M{F_2}}$＜0，即可求出y₀的取值范围．

解答 解：由题意，c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$，b=1，∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
∵$\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$＜0，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3＜0$，
∵${{x}_{0}}^{2}$=2+$2{{y}_{0}}^{2}$，
∴$3{{y}_{0}}^{2}$-1＜0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜{y}_{0}＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．