Question

设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（n∈N^*）．则
（i）y=sin2x在[0，π]上的面积为

 

；
（ii）y=sin（3x-π）+2在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（i）函数y=sinnx与函数y=sin2x类比，可以得出y=sin2x在[0，π]上的面积．
（ii）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+2，同理可求．

解答： 解：（i）∵函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（n∈N^*），∴对于函数y=sin2x而言，n=2，
∴y=sin2x在[0，π]上的面积为1；
（ii）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+2，∴y=sin（3x-π）+2在[

π

3

，

4π

3

]的面积为2π+

2

3

故答案为：1；2π+

2

3

．

点评：在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．