Question

20．已知等比数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{4}，{a_3}{a_5}=4（{{a_4}-1}）$．
（1）求a_n；
（2）若{b_n}满足b_n=log₂（16•a_n），求证$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和${S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等比数列通项公式得${a_3}{a_5}={a_4}^2=4（{{a_4}-1}）$，求出a₄=2，进而得到公式q=2，由此能求出a_n．
（2）由${b_n}={log_2}（{16{a_n}}）={log_2}{2^{n+1}}=n+1$，得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．由此利用裂项求和法能证明$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和${S_n}＜\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{4}，{a_3}{a_5}=4（{{a_4}-1}）$．
∴${a_3}{a_5}={a_4}^2=4（{{a_4}-1}）$，
解得a₄=2，
∴$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}={q}^{3}$=8，解得q=2，
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3．
（2）证明：${b_n}={log_2}（{16{a_n}}）={log_2}{2^{n+1}}=n+1$，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴${S_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}…\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$．
∴$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和${S_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{1}{2}$的证明，考查等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．