Question

13．已知实数c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：关于x的一元二次方程x²-cx+$\frac{1}{8}$c=0有两个不相等的实数根，如果命题“P∨Q”为真命题，命题“P∧Q”为假命题，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数与方程的性质分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解即可．

解答 解：若函数y=c^x在R上单调递减，则0＜c＜1，即P：0＜c＜1，
若方程x²-cx+$\frac{1}{8}$c=0有两个不相等的实数根，
则判别式△=c²-4×$\frac{1}{8}$c=c²-$\frac{1}{2}$c＞0，
得c＞$\frac{1}{2}$或c＜0，
∵c＞0，∴Q：c＞$\frac{1}{2}$，
若命题“P∨Q”为真命题，命题“P∧Q”为假命题，
则P，Q一真一假，
若P真Q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得0＜c≤$\frac{1}{2}$，
若Q真P假，则$\left\{\begin{array}{l}{c＞\frac{1}{2}}\\{c≥1}\end{array}\right.$，得c≥1，
综上0＜c≤$\frac{1}{2}$或c≥1，
即实数c的取值范围是0＜c≤$\frac{1}{2}$或c≥1．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据函数的性质求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．