Question

16．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），直线l经过定点P（1$，\sqrt{2}$），倾斜角为$\frac{π}{3}$．
（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直线的参数方程的标准形式和同角的平方关系，即可得到所求方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的标准方程，可得t的二次方程，由韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求值．

解答 解：（1）直线l经过定点P（1$，\sqrt{2}$），倾斜角为$\frac{π}{3}$，
可得直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=\sqrt{2}+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$（t为参数），
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
由sin²θ+cos²θ=1，可得圆的标准方程为x²+y²=4；
（2）将直线的参数方程代入圆的标准方程，
可得（1+$\frac{1}{2}$t）²+（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²=4，
化为t²+（1+$\sqrt{6}$）t-1=0，
设t₁，t₂是方程的两个实根，则t₁t₂=-1，
则|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=1．

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，同时考查直线参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．