题目内容
如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，设顶点A在底面BCD上的射影为E．（1）求证：CD⊥面ADE
（2）求证：BC=DE．
考点：直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）先利用线面垂直的性质证明出AE⊥CD，进而根据AD⊥CD和线面垂直的判定定理证明出CD⊥平面AED．
（2）先证明出CD⊥DE，进而证明出CB⊥BE，推断出BCDE为矩形，继而证明出BC=DE．
（2）先证明出CD⊥DE，进而证明出CB⊥BE，推断出BCDE为矩形，继而证明出BC=DE．
解答：
证明：（1）∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AE⊥CD，
又∵AD⊥CD，AD?面ADE，AE?面ADE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面AED．
（2）∵CD⊥平面AED，DE?面ADE，
∴CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，
则BCDE为矩形，
∴BC=DE．
∴AE⊥CD，
又∵AD⊥CD，AD?面ADE，AE?面ADE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面AED．
（2）∵CD⊥平面AED，DE?面ADE，
∴CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，
则BCDE为矩形，
∴BC=DE．
点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质．考查了学生基础知识的灵活运用．
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