题目内容
在（x2+x+1）n=D
x2n+D
x2n-1+D
x2n-2+…+D
x+D
（n∈N）的展开式中，把D
，D
，D
，…，D
叫做三项式的n次系数列．
（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：
三项式的2次系数列是 ；
三项式的3次系数列是 ．
（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下
①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；
②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C
=C
+C
，类似的请用三项式的n次系数表示D
（1≤k≤2n-1，k∈N）（无须证明）；
（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D
．
0 n |
1 n |
2 n |
2n-1 n |
2n n |
0 n |
1 n |
2 n |
2n n |
（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：
三项式的2次系数列是
三项式的3次系数列是
（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下
①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；
②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C
n n+1 |
n n |
n-1 n |
k+1 n+1 |
（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D
3 n |
考点：二项式系数的性质
专题：综合题,二项式定理
分析：（Ⅰ）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系数列．
（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示
（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示
解答：
解：（Ⅰ）∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；
∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
②
=
（ 1≤k≤2 n-1 ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得
=1+n-2+
=
，
∵
=n-1=
-1，
∴由
=
得
-
=
-1
n分别取3，4，…，n代入，累加可得
-
=
+
+
-（n-2）=
-（n+2），
∵
=2，
∴
=
-
．
∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；
∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
②
| D | k+1 n+1 |
| D | k-1 n |
| +D | k n |
| +D | k+1 n |
（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得
| D | 2 n-1 |
| C | 2 n-1 |
| C | 2 n |
∵
| D | 1 n-1 |
| C | 1 n |
∴由
| D | 3 n |
| D | 1 n-1 |
| +D | 2 n-1 |
| +D | 3 n-1 |
| D | 3 n |
| D | 3 n-1 |
| C | 2 n+1 |
n分别取3，4，…，n代入，累加可得
| D | 3 n |
| D | 3 2 |
| C | 2 4 |
| C | 2 5 |
| C | 2 n+1 |
| C | 3 n+2 |
∵
| D | 3 2 |
∴
| D | 3 n |
| C | 3 n+2 |
| C | 1 n |
点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．
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