在(x2+x+1)n=D 0nx2n+D 1nx2n-1+D 2nx2n-2+-+D 2n-1nx+D 2nn的展开式中.把D 0n.D 1n.D 2n.-.D 2nn叫做三项式的n次系数列．(Ⅰ)例如三项式的1次系数列是1.1.1.填空:三项式的2次系数列是 ,三项式的3次系数列是．n的展开式中.系数可用杨辉三角形数阵表示.如下①当0≤n≤4.n∈N时.类似杨辉三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在（x²+x+1）ⁿ=D

x²ⁿ+D

x^2n-1+D

x^2n-2+…+D

2n-1

x+D

（n∈N）的展开式中，把D

，D

，…，D

叫做三项式的n次系数列．
（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：
三项式的2次系数列是

；
三项式的3次系数列是

．
（Ⅱ）二项式（a+b）ⁿ（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下

①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；
②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C

n+1

n-1

，类似的请用三项式的n次系数表示D

k+1

n+1

（1≤k≤2n-1，k∈N）（无须证明）；
（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D

．

考点：二项式系数的性质

专题：综合题,二项式定理

分析：（Ⅰ）由（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，求得3次系数列．
（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示

解答： 解：（Ⅰ）∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
                   1
                 1 1 1
              1 2 3   2 1
            1 3 6 7   6 3 1
          1 4 10 16 19 16 10 4 1
②

k+1

n+1

k-1

k+1

（ 1≤k≤2 n-1 ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得

n-1

=1+n-2+

n-1

，
∵

n-1

=n-1=

-1，
∴由