Question

设函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≥0，f（2+sinβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）根据cosα∈[-1，1]，2+sinβ∈[1，3]，结合条件可得f（1）≥0，且f（1）≤0，即 f（1）=0恒成立，从而证得结论．
（2）根据f（3）≤0，以及b+c+1=0，即得c≥3．

解答： （1）证明：∵cosα∈[-1，1]，2+sinβ∈[1，3]，
又∵f（cosα）≥0，f（2+sinβ）≤0恒成立．
∴f（1）≥0，且f（1）≤0，
即f（1）=0恒成立．
∴b+c=-1．
（2）解：∵由（1）得，f（3）≤0，
∴9+3b+c≤0，
∴9+3（-1-c）+c≤0，
∴c≥3．
则实数c的取值范围是[3，+∞）．

点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的值域，二次函数的性质的应用，属于中档题．