Question

【题目】如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．

（1）求证平面；

（2）求二面角的大小；

（3）试在线段上一点，使得与所成的角是60°．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）点为线段的中点.

【解析】

（1）根据正方形和矩形所在的平面互相垂直，建立空间直角坐标系，求得的坐标，证明共线即可.

（2）根据平面，得到为平面的一个法向量，由，，得到为平面的一个法向量，然后代入公式求解.

（3）设，求得，的坐标，代入公式求解.

（1）建立如图所示的空间直角坐标系：

设，连接，

则点、的坐标分别是、，

∴，

又点、的坐标分别是、，

∴，

∴，且与不共线，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，，，

∴平面，

∴为平面的一个法向量，

∵，

∴，

得，，

∴为平面的一个法向量，

∴，

∴，的夹角是60°，

即所求二面角的大小是60°.

（3）设，，，

则，

解得或（舍去），

所以当点为线段的中点时，直线与所成的角为60°．