Question

【题目】已知三棱锥的底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB

∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，

∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC

又∵MN⊥AM，而AM∩AC＝A，

∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC

∴∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°

以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，

将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，

正方体的对角线就是球的直径．∴2RSA＝6，∴R＝3，

∴S＝4πR2＝36π．

故选：C．