Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求直线DQ与面PQC成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

根据题意得以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP,DC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（1）根据坐标系，求出的坐标，由向量积的运算易得=0， =0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（2）先求平面的PQC的法向量，再求出cos＜，＞，直线DQ与面PQC成角的正弦值等于cos＜，＞即可.

如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP,DC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；

（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），D(0,0,0)；

则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），

所以=0，=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；

（2）依题意，=（1，﹣1，0），

设=（x，y，z）是平面的PQC法向量，

则 即 ，可取=（1，1，2）；

=（1，1，0），所以cos＜，＞=

设直线DQ与面PQC所成的角为 ，

sin =cos＜，＞=.