Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₄=2a₂+a₃，a₃²=a₆．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a_n•log₂（a_n）的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用方程组，即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，求a_n•log₂（a_n）的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q＞0），则
∵a₄=2a₂+a₃，a₃²=a₆，
∴a₁q³=2a₁q+a₁q²，a₁²q⁴=a₁q⁵，
∴a₁=2，q=2；
（Ⅱ）a_n•log₂（a_n）=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减，整理可得T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题．