Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系的即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），
∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}×（3-1）$=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-$\frac{3}{2}（{3}^{n-1}-1）$，
化为：a_n=3ⁿ．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=na_n=n•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
上两式作差可得-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}×{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．