Question

17．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x-1}\\{x+y≥3}\\{y≤3}\end{array}\right.$，则z=x²+y²的取值范围是[$\frac{9}{2}$，25]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z=x²+y²的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知OA的距离最大，OB的距离最小，
点O到直线x+y-3=0的距离d=0B=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
则z=d²=（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3），
此时z最大为z=4²+3²=16+9=25，
故$\frac{9}{2}$≤z≤25，
故答案为：[$\frac{9}{2}$，25]

点评 本题主要考查线性规划的应用以及距离公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．