Question

设f（x）与g（x）是定义在同一区间D上的两个函数，若?x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，则称f（x）和g（x）是D上的“接近函数”，D称为“接近区间”；若?x∈D，都有|f（x）-g（x）|＞1，则称f（x）和g（x）是D上的“远离函数”，D称为“远离区间”．给出以下命题：
①f（x）=x²+1与g（x）=x²+

3

2

是（-∞，+∞）上的“接近函数”；
②f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3的一个“远离区间”可以是[2，3]；
③f（x）=

1-x2

和g（x）=-x+b（b＞

2

）是（-1，1）上的“接近函数”，则

2

＜b≤

2

+1；
④若f（x）=

lnx

x

+2ex与g（x）=x²+a+e²（e是自然对数的底数）是[1，+∞）上的“远离函数”，则a＞1+

2

e

．
其中的真命题有

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据已知中“接近函数”和“远离函数”的定义，逐一分析题目中给定的四组函数是否符号定义，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：对于①，若f（x）=x²+1与g（x）=x²+

3

2

，则|f（x₀）-g（x₀）|=1恒成立，
故f（x）=x²+1与g（x）=x²+

3

2

是（-∞，+∞）上的“接近函数”；
故①正确；
对于②，若f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3，
则|f（x₀）-g（x₀）|=|x₀²-5x₀+7|=|（x₀-

5

2

）²+

3

4

|，
当x₀∈[2，3]时，|f（x₀）-g（x₀）|≤1恒成立，
故[2，3]是f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3的一个“接近区间”，
故②错误；
对于③，若f（x）=

1-x2

和g（x）=-x+b（b＞

2

）是（-1，1）上的“接近函数”，
则?x∈（-1，1）使|f（x）-g（x）|≤1，
即?x∈（-1，1）使-x+b-

1-x2

≤1，
即?x∈（-1，1）使b≤（

1-x2

+1+x）_max，
令h（x）=

1-x2

+1+x，则h′（x）=1-

x

1-x2

，
则当x∈（-

2

2

，

2

2

）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（

2

2

，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
故当x=

2

2

时，h（x）取最大值

2

+1，
则

2

＜b≤

2

+1；
故③正确；
④若f（x）=

lnx

x

+2ex与g（x）=x²+a+e²（e是自然对数的底数）是[1，+∞）上的“远离函数”，
即?x∈[1，+∞），
|

lnx

x

+2ex-x²-a-e²|=|a-

lnx

x

-2ex+x²+e²|=|（x-e）²+a-

lnx

x

|＞1，
令p（x）=（x-e）²+a，则p（x）在（-∞，e）上递减，在（e，+∞）上递增，
∴当x=e时，p（x）取最小值a；
令q（x）=

lnx

x

，则q′（x）=

1-lnx

x2

，易得q（x）在（-∞，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴当x=e时，p（x）取最大值

1

e

；
∴|（x-e）²+a-

lnx

x

|_min=|a-

1

e

|＞1，
即a＞1+

1

e

或a＜-1+

1

e

．
故④错误；
故真命题有：①③，
故答案为：①③．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中正确理解“接近函数”和“远离函数”的定义，是解答的关键．