题目内容
12．设f（x）=|x+1|-|x-4|．（1）若f（x）≤-m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．
分析 （1）求出f（x）=|x+1|-|x-4|的最大值，f（x）max≤-m2+6m即可．
（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25
解答 解（1）-5≤|x+1|-|x-4|≤5．，
由于f（x）≤-m2+6m的解集为R，
∴-m2+6m≥5，即1≤m≤5．
（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5
由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25----------（5分）
故a2+b2+c2≥$\frac{1}{2}$．（当且仅当a=$\frac{3}{10}$，b=$\frac{4}{10}$c=$\frac{5}{10}$时取等号）
∴a2+b2+c2的最小值为$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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2．
如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（ ）
如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（ ）| A． | 2R | B． | $\frac{4R}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}R$ | D． | $\frac{R}{3}$ |
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4．
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已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）| A． | $\frac{32}{3}$ | B． | $\frac{16}{3}$ | C． | $\frac{8}{3}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
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