题目内容
3．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{3π}{4}$）=7．（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）A，B分别是圆C和直线l上的动点，求|AB|的最小值．
分析 （1）利用和与差公式打开，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得直线l的直角坐标方程；
（2）根据圆C的参数方程，求出圆心和半径，|AB|的最小值为圆心到直线的距离d-r可得答案．
解答 解：（1）直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{3π}{4}$）=7．
那么：$\sqrt{2}ρsinθcos\frac{3π}{4}+\sqrt{2}ρcosθsin\frac{3π}{4}=7$，
根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得：-y+x=7．
即直线l的直角坐标方程为x-y=7．
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），其圆心为（-1，2），半径r=4．
那么：圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+2-7|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$．
∴AB|的最小值为圆心到直线的距离d-r，即$|AB{|}_{min}=d-r=3\sqrt{2}-4$．
点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化以及应用，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | 2 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | $2+\sqrt{2}$ |