Question

7．已知曲线C上任一点M（x，y）到点E（-1，$\frac{1}{4}$）和直线a：y=-$\frac{1}{4}$的 距离相等，圆D：（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=r²（r＞））
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点A（-2，1）作曲线C的切线b，并与圆D相切，求半径r；
（Ⅲ）若曲线C与圆D恰有一个公共点B（x₀，（x₀+1）²），且在B点处两曲线的切线为同一直线d，求半径r．这时，你认为曲线C与圆D共有几条公切线（不必证明）？（注：公切线是与两曲线都相切的直线，切点可以不同．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{4}）^{2}}=|y+\frac{1}{4}|$，两边平方并整理得曲线C的方程；
（Ⅱ）由y=（x+1）²，利用导数求得过点A（-2，1）的抛物线的切线b的方程，由圆心（1，$\frac{1}{2}$）到直线b的距离等于半径求得圆D的半径r；
（Ⅲ）设直线d与曲线C切于点B（x₀，（x₀+1）²），利用导数求出d的斜率k₁=2（x₀+1），再由两点求斜率得到${k}_{BD}=\frac{（{x}_{0}+1）^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}-1}$，由直线垂直与斜率的关系列式求得B的坐标，再由两点间的距离公式求得半径r．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$\sqrt{（x+1）^{2}+（y-\frac{1}{4}）^{2}}=|y+\frac{1}{4}|$，
两边平方并整理得：y=（x+1）²．
∴曲线C的方程为y=（x+1）²；
（Ⅱ）由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），
∵点A（-2，1）在抛物线C上，∴切线b的斜率为y′|_x=-2=-2．
则切线b的方程为y-1=-2（x+2），即2x+y+3=0．
又b与圆D相切，
∴圆心（1，$\frac{1}{2}$）到直线b的距离等于半径，
即r=$\frac{|2+\frac{1}{2}+3|}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{10}$；
（Ⅲ）∵直线d与曲线C切于点B（x₀，（x₀+1）²），
∴d的斜率k₁=2（x₀+1），
∵D（1，$\frac{1}{2}$），显然x₀≠1，∴${k}_{BD}=\frac{（{x}_{0}+1）^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}-1}$．
又d与圆D也切于B点，∴d⊥BC，即k₁•k_BD=-1．
∴$2（{x}_{0}+1）•\frac{（{x}_{0}+1）^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{0}-1}=-1$，得$2（{x}_{0}+1）^{3}-（{x}_{0}+1）=1-{x}_{0}$，解得x₀=0．
得B（0，1），
此时r=|BD|=$\sqrt{（0-1）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
曲线C与圆D共有3条公切线．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了直线垂直与斜率关系的应用，是中档题．