题目内容
在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a，b，c，且c=2
，C=
．
（1）若sinB=3sinA，求△ABC的面积；
（2）若sinA+sinB的最大值为
，求A与B的大小．
| 7 |
| π |
| 3 |
（1）若sinB=3sinA，求△ABC的面积；
（2）若sinA+sinB的最大值为
| 3 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）利用正弦定理化简sinB=3sinA，得到b=3a，与余弦定理a2+b2-ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（2）利用已知条件得到A+B=
，利用两角和与差的三角函数化简sinA+sinB，通过sinA+sinB的最大值为
，即可求A与B的大小
（2）利用已知条件得到A+B=
| 2π |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（1）（2）由正弦定理，把sinB=3sinA化为b=3a，
联立方程组
，
解得：a=2，b=6，
又sinC=
，
则△ABC的面积S=
absinC=
×2×6×
=3
．
（2）∵C=
，∴A+B=
，
∴sinA+sinB=sinA+sin（
-A）=sinA+
sinA+
cosA=
sin（A+
），
它的最大值为：
，∴A+
=
∴A=
，B=
．
联立方程组
|
解得：a=2，b=6，
又sinC=
| ||
| 2 |
则△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
（2）∵C=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sinA+sinB=sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
它的最大值为：
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴A=
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查正弦定理两角和与差的三角函数，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．
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